Для построения перпендикуляра достаточно сначала по­строить точку А', симметричную А относительно L.

Для этого по­строим две окружности с центрами на L, проходящие через точку А. Вторая точка пересечения этих окружностей и даст точку А'.

Проведя прямую АА', мы получим искомый перпендикуляр.

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных задач, напом­ним о тех условностях, которые связаны с задачами на построение.

Во всех таких задачах, если не сделано оговорок, речь идет о по­строении с помощью циркуля и линейки.

С помощью линейки мы можем через любые две точки плоско­сти провести прямую линию. И ничего более! Математическая ли­нейка односторонняя и не имеет делений.

С помощью циркуля мы можем построить окружность с задан­ным центром и заданным радиусом. При этом радиус задается ука­занием таких двух точек на плоскости, расстояние между которыми равно радиусу.

С помощью циркуля мы можем также отложить отрезок, равный данному.

Биссектрису угла также можно рассматривать как геометрическое место точек.

Докажем, что геометрическим местом точек, располо­женных внутри данного угла и равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Проведем сле­дующие рассуждения.

Первое рассуждение.

Если точка М расположена внутри угла и находится на равных расстояниях от его сторон, то М лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство.

Опустив перпендикуляры МА и МВ на стороны угла, из равенства МА = МВ на основании соответствующего признака равенства прямоугольных треугольников получим, что треугольни­ки ОМА и ОМВ равны. Значит, равны углы МОА и МОВ, т.е. OM — биссектриса угла АОВ.

Второе рассуждение.

Если точка М лежит на биссектрисе, то М равноудалена от сторон угла.

Доказательство.

При симметрии относи­тельно прямой, содержащей биссектрису, стороны угла перейдут друг в друга.

Напомним, что через любую точку плоскости проходит единствен­ный перпендикуляр к заданной прямой.

Что представляет собой геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов заданного отрезка прямой на плоскости?

Дан отрезок АВ, который лежит в некоторой плоскости. Требуется найти все точки M плоскости, для которых AM = MB.

Ответ следует из известных вам свойств равнобедренно­го треугольника.

Искомым геометрическим местом точек является прямая, пер­пендикулярная АВ и проходящая через середину АВ. Та­кую прямую называют серединным перпендикуляром к АВ.

Середин­ный перпендикуляр является осью симметрии, при которой А пере­ходит в В, и наоборот.

В самом деле, если М — такая точка плоскости, что АМ = МВ, то со­гласно свойству равнобедренного треугольника М принадлежит сере­динному перпендикуляру.

Если же точка М принадлежит серединному перпендикуляру к АВ, то, по теореме о признаках равнобедренного треугольника, треугольник АМВ — равнобедренный и АМ = МВ.

Если мы построим окружность радиуса AB с центром в точке А, то эта окружность будет иметь единственную общую точку с прямой L — точку В.

Если прямая имеет единственную общую точку с окружностью, то такая прямая называется касательной к окружности.

О такой прямой говорят также, что она касается окружности.

Общая точка окружности и касательной называется точкой касания.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. И наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике АВС сторона АС больше сто­роны АВ.

Возьмем на стороне АС точку D так, что АD = АВ.

В равнобедренном треугольнике АВD, как известно, равны углы AВD и АDВ. Но угол АВD меньше угла АВС, а угол АDВ по теореме о внешнем угле больше угла ВСА. Значит, тем более угол АВС больше угла ВСА.

А теперь от углов — к сторонам. Пусть в треугольнике АВС угол АВС больше угла АСВ. Тогда из только что доказанного следует, что сторона АВ не может быть больше стороны АС. Стороны АВ и АС не могут быть и равными. Остается единственное: АВ меньше АС.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, с ним не смежного.

Рассмотрим треугольник АВС и какой-либо из его внешних углов, например угол, смежный с углом АСВ. Докажем, что он больше угла CВA.

Проведем медиану АD и продолжим ее за точку D на такое же рас­стояние. Получим точку A1.

Треугольник DСА1 равен треугольнику DBА (по первому при­знаку), откуда DBА = DСА1. Но угол DСА1 меньше угла, смежного с углом АСВ, поскольку составляет его часть.

Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и ка­тет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.

Кроме того, из первого признака равенства треугольников сле­дует равенство прямоугольных треугольников по двум катетам.

Прямоугольным называется треугольник, у которого есть прямой угол.

Стороны, заключающие прямой угол прямоугольного треугольни­ка, называются катетами прямоугольного треугольника.

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотену­зой прямоугольного треугольника.

Треугольник, как правило, задается тремя элементами.

Пусть в треугольниках ABC и А1В1С1 имеют место равенства АВ = А1В1, AС = A1С1, АВС = А1В1С1.

Обязательно ли такие треугольники равны?

Для того чтобы доказать, что такие треугольники могут быть и неравными, достаточно «предъявить» два неравных треугольника, у которых равны указан­ные в условии элементы. Как говорят математики, построить опро­вергающий пример.

Рассмотрим на плоскости какой-нибудь острый угол, вершину которого обозначим буквой В.

Возьмем на одной из его сторон точку А и с центром в этой точке нарисуем окруж­ность, которая пересекает другую сторону угла в двух точках. Обо­значим эти точки через С и С1.

Один из двух получившихся тре­угольников — это АВС, а другой — АВС1 (можно считать, что точки А и A1, В и В1 совпадают).

Как видим, эти треугольники не равны, хотя и удовлетворяют всем условиям нашей задачи.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть для треугольников ABC и А1В1С1 имеют место равенства:
АВ равно А1В1,
ВС равно В1С1,
СА равно C1A1.

Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами со­ответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симмет­ричных относительно AB точках: C и С2.

Перене­сем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со сторо­ной АВ, при этом должны совпасть вершины А1 и A, В1 и B.

Точка С1 после пе­реноса указанным образом треугольника А1В1С1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой С2. В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и А1В1С1, поскольку треугольни­ки ABC и ABС2 равны, так как эти треугольники симметричны относитель­но прямой AB.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней уг­лам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 имеют ме­сто равенства ВС = В1С1, АВС = А1В1С1, а АСВ = А1С1В1.

Наложим тре­угольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны ВС и В1С1 и прилегающие к ним углы.

При необходимости треугольник А1В1С1 можно «перевернуть обратной стороной».

Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого тре­угольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1. Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1, AC и A1C1, а угол BAC равен углу B1A1C1.

Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол B1A1C1 совпал с углом BAC. При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона А1С1 — со сторо­ной АС.

В случае необходимости вместо треугольника А1В1С1 можно рассматривать равный ему «перевернутый» треугольник, т.е. тре­угольник, симметричный А1В1С1 относительно произвольной прямой.

Тогда треугольники совпадут полностью, поскольку совпадут все их вершины.

Равные фигуры — это такие фигуры, которые можно совместить друг с другом, наложить друг на друга так, чтобы они совпали.

Как все же можно установить равенство двух фигур?

Равенство каких элементов — отрезков, углов или чего-то иного — обеспечивает и равенст­во самих фигур?

Мы знаем, что два отрезка равны, если равны их длины.

Из ра­венства радиусов следует и равенство окружностей.

Рас­смотрим две пересекающиеся окружности с центрами O1 и O2. Пусть A — какая-то из точек пересечения этих двух окруж­ностей, не лежащая на прямой O1O2. Если точек пересечения более одной, то такая точка А найдется. Зафиксируем эту точку. Мы утвер­ждаем, что помимо точки A окружности могут пересечься еще в единственной точке, симметричной А относительно прямой O1O2.

В самом деле, пусть A1 — какая-то точка пересечения окружно­стей, отличная от A. Прямая, проходящая через O1 перпендикуляр­но AA1, делит AA1 пополам. Это следует из теоремы о диаметре перпендикулярном хорде, ведь AA1 — хорда окружности с центром O1. Точно так же пополам делит AA1 прямая, проходящая через O2 перпендикулярно AA1. Значит, эти два перпендикуляра совпадают с прямой O1O2, т.е. мы доказали, что A1 симметрична A относительно прямой O1O2. Таким образом, чис­ло точек пересечения двух окружностей не более двух.

Рассмотрим случай пересекающихся окружности и прямой.

Если прямая проходит через центр окружности, то наше утвер­ждение вполне очевидно. На прямой имеется ровно две точки, уда­ленные от данной точки этой прямой на определенное расстояние.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть окружность с центром О пересекается с прямой а в точке А. Опустим из О перпен­дикуляр b на прямую а. Если A1 — еще одна точка пересечения прямой а с окружностью, то треугольник AOA1 является равнобедрен­ным с основанием AA1. По свойству равнобедренных треугольников перпендикуляр b делит отрезок AA1 пополам, или, иначе, A1 симметрична А относительно b. Это означает, что, помимо точки A, прямая а может пересечься с окружностью не более чем еще в одной точке.

Теорема о равнобедренном треугольнике имеет непосредствен­ное отношение к свойствам окружности. Ведь любую хорду окружности можно рассматривать как основание равнобедренного тре­угольника, противоположная вершина которого расположена в центре окружности. Этот прием часто используется при доказатель­стве различных свойств окружности и решении задач.

Свойство хорд окружности можно сформулировать так: «Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду этой окружности, делит хорду пополам».

Это же можно выразить несколько иначе: «Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам».

Рассмотрим тре­угольник OPK, где PK — некоторая хорда окружности, а О — центр.

Этот треугольник равнобедренный: OP = OK. Теперь мы мо­жем воспользоваться свойством равнобедренных треугольников, по которому медиана, биссектриса и высота, проведенные к основа­нию, совпадают. Значит, перпендикуляр, опущенный из вершины О на PK, делит PK пополам.

В любом равнобедренном треугольнике:

- углы при основании равны;
- медиана, биссектриса и высота, проведенные к основа­нию, совпадают.

Оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в кото­ром АВ = ВС.

Пусть ВВ1 — биссектриса этого треугольника. Как известно, прямая BB1 является осью симметрии угла АВС.

Но в силу равенства AB = BC при этой симметрии точка А переходит в С. Следовательно, треугольники ABB1 и CBB1 равны.

Отсюда все и сле­дует. Ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. Значит, угол BAB1 = угол BCB1.

Кроме того, AB1= CB1, т.е. BB1 — медиана и угол BB1A = угол BB1C = 90°; таким образом, BB1 также и высота треугольника ABC.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны.

Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным, при этом равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.