Тема 4. "Свойства арифметического квадратного корня"
Математика для 9 класса. Алгебра

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Пример из раздела "Свойства степени с целым показателем"
Математика. 9 класс
Упростите выражение. Решение по алгебра. Пример 2


Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Рассмотрим классическую геометриче­скую задачу такого рода, которой очень легко придать заниматель­ный вид. Но мы этого делать не будем и ограничимся сухой матема­тической формулировкой.

Дана прямая L и две точки А и В по одну сторону от нее. Най­дите на прямой L точку М такую, чтобы длина двузвенной ломаной АМВ была наименьшей.

Решение задачи затрудняет то, что точки А и В расположены по одну сторону от L. Вот если бы... (впрочем, не будем пытаться пока­зать, каким образом смутная догадка может оформиться в настоя­щее решение). Рассмотрим само решение.

Возьмем любую точку М на прямой L. Построим точку А', симметричную А относительно L. Поскольку АМ=А'М, длина ломаной АМВ всегда равна длине ломаной А'МВ.

Но последняя будет наименьшей, когда она превращается в отрезок прямой. Значит, искомой точкой на L будет точка, в которой ее пересечет отрезок А'В. Обозначим ее через М0.

Из соответствующих свойств углов следует, что для найденной точки М0 лучи М0A и М0В образуют с L равные углы.

Именно по та­кому закону происходит отражение света, т.е. если бы мы смогли направить луч света из А так, чтобы он, отразившись от прямой L, попал в В, то этот луч реализовал бы кратчайший путь.

Пример из раздела "Свойства степени с целым показателем"
Математика. 9 класс
Вычислите выражение. Решение по алгебре

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Как мы знаем, чтобы попасть из одной точки плоскости в другую кратчайшим путем, надо двигаться по прямой линии. Это простей­шая задача на отыскание кратчайшего пути.

Существует ряд гораздо более сложных, интересных и важных для практики задач подобного рода. Например, соединить несколько городов дорогами так, чтобы можно было проехать в каждый город из любого другого, а общая дли­на построенных дорог была наименьшей.

3 Свойства степени с целым показателем
Раздел 3. Математика. 9 класс

n - ой степенью числа а называют произведение п множителей, каждый из которых равен а.

а - основание степени, n - показатель степени

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Пример из раздела "Преобразование рациональный выражений"

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

#решение #пример #математика

Обозначим через В — точку касания касательной с окружностью. Как мы знаем, угол АВО пря­мой. В прямоугольном треугольнике АВО известен катет ВО, равный радиусу окружности, и гипотенуза АО. По этим данным можно по­строить треугольник, равный треугольнику АВО.

Для этого построим две перпендикулярные прямые в любом месте плоскости. На одной из прямых от точки Р — точки их пере­сечения — отложим отрезок РК, равный радиусу окружности.

Прове­дем окружность радиуса АО с центром в точке К.

Обозначим через М точку пересечения этой окружности со второй прямой.

Получившийся прямоугольный треугольник МРК равен тре­угольнику АВО по специальному признаку равенства прямоугольных треугольни­ков.

Катет МР равен касательной АВ.

Теперь строим ок­ружность с центром в точке А и радиусом, равным МР.

Точки ее пе­ресечения с данной окружностью будут точками касания.

Соединяя их с А, получим искомые прямые.

Из наших рассуждений следует, что через произвольную точку, расположенную вне окружности, можно провести ровно две пря­мые, касающиеся этой окружности. При этом отрезки касательных от данной точки до точек касания равны.

Последнее коротко можно выразить следующим образом: касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Пример из раздела "Преобразование рациональный выражений"

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Пример из раздела "Преобразование рациональный выражений"
Решение по математике 9 класс

Построим окружность, проходящую через точку А и пе­ресекающую прямую L в точках В и С так, что отрезки АВ и АС не равны.

Для этого центр окружности не должен лежать на пер­пендикуляре к прямой L, проходящем через А.

Построим теперь еще одну окружность с центром в С и радиусом, равным АВ.

Среди точек пересечения построенных окружностей есть одна точка, соединив которую с А мы получим прямую, параллельную L.

Дока­жем это.

Рассмотрим прямую P, проходящую через центр первой из построенных окружностей и перпендикулярную L.

При симметрии относительно прямой P точки В и С переходят одна в другую. Точка А перейдет в такую точку А' первой окружности, для которой СА'=ВА.

Это означает, что А' — одна из точек пе­ресечения наших окружностей.

Заметим, что А' не может совпасть с А. Вот для чего потребовалось условие АВ не равно АС.

Прямые L и АА' перпендикулярны одной прямой P, а значит, они параллельны.

Пример из раздела "Преобразование рациональный выражений"
Решение по математике 9 класс

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Рассмотрим угол с вершиной А.

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке А.

Обозначим через В и С точки пересечения окружности со сторонами угла.

Теперь построим две пересекающиеся окружности равного радиуса с цен­трами в точках В и С.

Возьмем точку их пересечения, лежащую внут­ри угла. Обозначим ее буквой D.

Треугольники АВD и АСD равны по трем сторонам. Значит, равны углы ВАD и САD.

Луч АD является биссектрисой рассматриваемого угла.

2 Преобразование рациональных выражений

Упростить - значит представить рациональное выражение в виде дроби, у которой числитель и знаменатель есть целые выражения.

Необходимо уметь:

• Сокращать дробь
• Приводить дроби к общему знаменателю
• Складывать и вычитать рациональные дроби
• Умножать и делить дроби
• Применять различные способы разложения многочлена на множители
• Возводить дробь в целую степень.

Пример из раздела "Разложение многочленов на множители"
Решение по математике 9 класс

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Это построение легко сводится к построению треуголь­ника, равного данному.

Выберем на сторонах угла произвольно по точке. Пусть это точки В и С.

Откладываем в нужном месте отрезок, равный AB.

Затем с центрами в концах этого отрезка строим две окружности, радиусы которых равны AC и BC.

Находим точку пересечения построенных окружностей.

Пример из раздела "Разложение многочленов на множители"
Решение задания по математике

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

1 Разложение многочлена на множители
Математика 9 класс

Методы разложения на множители

1) Вынесение за скобки общего множителя

2) Применение тождеств сокращенного умножения

3) Группировка

Статья про разложение многочленов на множители:
https://fizmat.teachua.com/?p=81

Если на плоскости изображен треугольник, то мы без труда сможем в любом месте плоскости построить треугольник, равный изобра­женному.

Будем исходить из третьего признака равенства треуголь­ников.

Откладываем в нужном месте отрезок, равный одной из сто­рон треугольника.

Затем с центрами в концах этого отрезка строим две окружности, радиусы которых равны двум другим сторонам.

Находим точку пересечения построенных окружностей.

Точно так же строится треугольник по трем сторонам. Разница лишь в том, что дано не изображение треугольника, а три отрезка, равные его сторонам.

Задача сводится к построению серединного перпендикуляра к АВ.

Точка его пересечения с АВ является искомой.

Построим две одинаковые пересекающиеся окружности с центрами А и В.

Проведем прямую через точки их пере­сечения и найдем точку пересечения этой прямой с АВ.

Это и есть искомая середина отрезка АВ.