Неравенство между сторонами и углами треугольника

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. И наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике АВС сторона АС больше сто­роны АВ.

Возьмем на стороне АС точку D так, что АD = АВ.

В равнобедренном треугольнике АВD, как известно, равны углы AВD и АDВ. Но угол АВD меньше угла АВС, а угол АDВ по теореме о внешнем угле больше угла ВСА. Значит, тем более угол АВС больше угла ВСА.

А теперь от углов — к сторонам. Пусть в треугольнике АВС угол АВС больше угла АСВ. Тогда из только что доказанного следует, что сторона АВ не может быть больше стороны АС. Стороны АВ и АС не могут быть и равными. Остается единственное: АВ меньше АС.