Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Рас­смотрим две пересекающиеся окружности с центрами O1 и O2. Пусть A — какая-то из точек пересечения этих двух окруж­ностей, не лежащая на прямой O1O2. Если точек пересечения более одной, то такая точка А найдется. Зафиксируем эту точку. Мы утвер­ждаем, что помимо точки A окружности могут пересечься еще в единственной точке, симметричной А относительно прямой O1O2.

В самом деле, пусть A1 — какая-то точка пересечения окружно­стей, отличная от A. Прямая, проходящая через O1 перпендикуляр­но AA1, делит AA1 пополам. Это следует из теоремы о диаметре перпендикулярном хорде, ведь AA1 — хорда окружности с центром O1. Точно так же пополам делит AA1 прямая, проходящая через O2 перпендикулярно AA1. Значит, эти два перпендикуляра совпадают с прямой O1O2, т.е. мы доказали, что A1 симметрична A относительно прямой O1O2. Таким образом, чис­ло точек пересечения двух окружностей не более двух.