С каждым треугольником связан ряд отрезков и линий, имеющих специальные названия.

Отрезок прямой, соединяющий какую-либо вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой тре­угольника.

Отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до точки пе­ресечения со стороной треуголь­ника называется биссектрисой тре­угольника.

Проведем через вершину треугольника прямую, перпендику­лярную противоположной стороне (точнее, перпендикулярно пря­мой, содержащей противоположную сторону).

Отрезок этой прямой между вершиной и стороной треугольника или ее продолжением называется высотой тре­угольника.

Конец высоты, отличный от вершины, называется основанием высоты.

Обратите внимание, что для тупоугольного треугольника основание высоты, опущенной из вершины его острого угла, лежит на продолжении его противоположной стороны! Понятно, что у каждого треугольника имеются три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

По определению окружность состоит из всех точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние от ее центра. Проведем через центр окружности точку О — произвольную прямую a.

Пусть А — некоторая точка окружности. Если А лежит на прямой а, то в результате симметрии относительно а точка А останется на месте.

Если же А не принадлежит прямой а, то в результате симметрии она перейдет в некоторую точку А', а отрезок ОА — в отрезок OA'. Согласно свойству симметрии
OA = OA',
а значит, и точка А' принадлежит окружности. Но при этой симметрии точка A', в свою очередь, перейдет в А. Короче говоря, при симметрии относительно прямой a точки А и А', лежащие на окружности, просто поменяются местами. Из этого следует, что вся окружность перейдет сама в себя.

Окружность — это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки O на данное расстояние.

При этом точка O называется центром окружности.

Расстояние от О до точки окружности называется ее радиусом. Заметим, что радиусом называется и сам этот отрезок, и его длина.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Вообще, отрезок, соединяющий две точки любой кривой, является хордой этой кривой.

Хорда, проходящая через центр окружности, есть диаметр окружности.

Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом. Окружность и круг обладают многими поистине замечательными свойствами. В некотором смысле это самые симметричные линия и фигура. У окружности и круга есть центр и бесконечно много осей симметрии.

Окружность — это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех то­чек плоскости, удаленных от данной точки O на данное расстояние.

Наше определение как бы подтверждает, что кривая, изображаемая с помощью циркуля, в самом деле является окружностью.

Любая замкнутая кривая, не пересекающаяся сама с собой, ограничивает плоскую фигуру и делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к этой фигуре.

При этом, если точка А принадлежит внутренней области, а точка В — внешней, то, двигаясь из А в В по любой кривой, мы пересечем данную замкнутую кривую нечетное число раз.

Это понятно, ведь при каждом пересечении мы переходим из внутренней области во внешнюю или обратно, и сами эти переходы чередуются. При одном пересечении мы перешли из внутренней во внешнюю область, после двух — вернулись обратно, после трех — вновь попадаем во внешнюю область и т.д.

Кривая, состоящая из конечного числа отрезков прямых линий, называется ломаной.

Концы отрезков — вершины ломаной.

Отрезки — звенья, или стороны, ломаной. Соседние стороны не должны лежать на одной прямой.

Прямая, хотя это и звучит немного странно, является частным случаем кривой, причем кривой, бесконечной в обе стороны.

А отрезок прямой — пример конечной кривой. И прямая, и отрезок — незамкнутые и несамопересекающиеся кривые.

Окружность — это пример конечной, замкнутой, несамопересекающейся кривой.

Кривая может быть: конечной и бесконечной, замкнутой и незамкнутой, самопересекающейся и несамопересекающейся.

Все эти названия говорят сами за себя, и вы легко сможете определить, к какому виду относится та или иная кривая.

Плоскую линию, которую можно изобразить на листе бумаги, не отрывая карандаша от листа, будем называть плоской кривой или просто кривой.

На поверхности шара тоже можно нарисовать кривую, но плоской она уже не будет.

Луч с началом в вершине данного угла, лежащий внутри этого угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой этого угла.

Из определения биссектрисы следует, что прямая, на которой лежит биссектриса, является осью симметрии угла.

Теорема о единственности перпендикуляра подсказывает также и способ построения прямой, перпендикулярной данной, проходящей через точку, расположенную вне данной прямой.

Если точка А расположена вне прямой а, то построим сначала точку А', симметричную А относительно а.

Проведя прямую АА', мы построим нужный перпендикуляр к а, проходящий через точку А.

Через любую точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой.

Пусть точка А лежит на прямой а.

В каждой из двух полуплоскостей, соответствующих прямой а, существует лишь один луч, образующий прямые углы с обеими полупрямыми, на которые точка А разбивает прямую а. Эти два луча лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой а.

Рассмотрим теперь случай, когда точка А расположена вне прямой.

Обозначим через А' точку, симметричную А относительно а. Как мы уже знаем из теоремы о симметрии перпендикулярных прямых, прямая, перпендикулярная а, в результате симметрии относительно а переходит сама в себя. Это означает, что если она проходила через А, то должна проходить и через А'. Следовательно, эта прямая является единственной.

Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая пе­реходит сама в себя.

Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая переходит сама в себя.

Из определения симметрии следует, что любая фигура при симметрии переходит в равную ей фигуру. Значит, и угол переходит в равный угол. Обозначим рассматриваемые прямые через a и b. Рассмотрим любой из углов, образованных при их пересечении. Сторонами этого угла являются лучи прямых а1 и b1. Этот угол по условию равен 90°.

В результате симметрии относительно a этот угол перейдет в равный ему угол. Но при этом сторона, лежащая на прямой a (луч a1), останется на месте. Значит, другая сторона (луч b1) перейдет в свое продолжение — другой луч той же прямой b (луч b2).

Величина угла между двумя прямыми равна величине наименьшего из образовавшихся при их пересе­чении углов.

Из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, хотя бы одна пара вертикальных углов не превосходит 90°.

Величину каждого из таких углов мы и примем за величину угла между прямыми. Иными словами, величина угла между двумя прямыми равна величине наименьшего из образовавшихся при их пересечении углов.

Вертикальные углы равны. Докажем, например, что на рисунке равны углы 1 и 3.

Эти углы являются смежными для угла 2. Каждый из них дополняет до 180° угол 2, а это значит, что углы 1 и 3 равны.

При пересечении двух прямых плоскость делится на четыре части, четыре угла.

Эти четыре угла можно разбить на две пары. В каждую пару будут входить углы, не имеющие общей стороны. Такую пару углов мы будем называть вертикальными.

Если угол равен углу, смежному с ним, то такой угол называется прямым. Величина прямого угла равна 90°.

Углы, меньшие 90°, называются острыми.

Углы от 90° до 180° — тупыми.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами.

Из определения градусной меры следует, что сумма величин градусных мер смежных углов равна 180°.

Наиболее распространенной мерой углов является градусная мера. С этой мерой вы уже знакомы, поэтому лишь коротко напомним о ней. Величина развернутого угла равна 180 градусам.

Угол в 1 градус (обозначается 1°) есть 1/180 развернутого угла. Это означает, что если мы приложим друг к другу, как на рисунке, 180 углов по 1° каждый, то в результате получим развернутый угол.

Рассмотрим какой-нибудь угол. Пусть одна его сторона неподвижна, а другая вращается вокруг вершины. Будем считать, что в начальном положении стороны угла совпадают, что соответствует углу 0°, а в конечном положении стороны образуют развернутый угол, величина которого равна 180°. Тогда любой угол, величина которого равна заданному числу градусов, при этом вращении появится лишь однажды.

Развернутый угол – 180°.

Угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами этой прямой, будем называть развернутым.