Любая прямая плоскости делит эту плоскость на две части — две полуплоскости.

сть в плоскости проведена некоторая прямая, которую мы обозначим буквой а. Любая точка А, не лежащая на этой прямой, находится в одной из двух образовавшихся полуплоскостей.

Если точки А и В расположены в разных полуплоскостях, то отрезок АВ пересекает а.

Если же точки А и B находятся в одной полуплоскости, то отрезок АВ не пересекает а.

Это же можно выразить несколько иначе. Две точки плоскости A и B, не лежащие на прямой в этой плоскости, располагаются в разных или в одной полуплоскости относительно прямой а в зависимости от того, будет отрезок AВ пересекаться с прямой а или нет.

Любая прямая плоскости является осью симметрии плоскости.

Как мы знаем, прямая — это линия пересечения двух плоскостей. Отсюда следует, что при перегибании листа бумаги, представляющего собой модель плоскости, образуется прямая линия. Это станет яснее, если немного развести части листа, получившиеся при его перегибании. Тогда мы увидим, что линия сгиба — это линия пересечения двух плоскостей.

Если точки А и А' совпадут в результате перегибания листа бумаги, то будем говорить, что А и А' симметричны относительно образующейся при перегибании листа прямой а или что они переходят друг в друга при симметрии относительно а. Все точки самой прямой а при этом остаются неподвижными, переходят сами в себя.

Две фигуры или линии плоскости являются симметричными относительно прямой а, если для каждой точки одной фигуры найдется симметричная относительно а точка другой фигуры. Понятно, что симметричные фигуры равны.

Теорема о единственности перпендикуляра подсказывает также и способ построения прямой, перпендикулярной данной, проходящей через точку, расположенную вне данной прямой.

Если точка А расположена вне прямой а, то построим сначала точку А', симметричную А относительно а.

Проведя прямую АА', мы построим нужный перпендикуляр к а, проходящий через точку А.

Кривая, состоящая из конечного числа отрезков прямых линий, называется ломаной.

Концы отрезков — вершины ломаной.

Отрезки — звенья, или стороны, ломаной. Соседние стороны не должны лежать на одной прямой.

Любая замкнутая кривая, не пересекающаяся сама с собой, ограничивает плоскую фигуру и делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к этой фигуре.

При этом, если точка А принадлежит внутренней области, а точка В — внешней, то, двигаясь из А в В по любой кривой, мы пересечем данную замкнутую кривую нечетное число раз.

Это понятно, ведь при каждом пересечении мы переходим из внутренней области во внешнюю или обратно, и сами эти переходы чередуются. При одном пересечении мы перешли из внутренней во внешнюю область, после двух — вернулись обратно, после трех — вновь попадаем во внешнюю область и т.д.

Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

По определению окружность состоит из всех точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние от ее центра. Проведем через центр окружности точку О — произвольную прямую a.

Пусть А — некоторая точка окружности. Если А лежит на прямой а, то в результате симметрии относительно а точка А останется на месте.

Если же А не принадлежит прямой а, то в результате симметрии она перейдет в некоторую точку А', а отрезок ОА — в отрезок OA'. Согласно свойству симметрии
OA = OA',
а значит, и точка А' принадлежит окружности. Но при этой симметрии точка A', в свою очередь, перейдет в А. Короче говоря, при симметрии относительно прямой a точки А и А', лежащие на окружности, просто поменяются местами. Из этого следует, что вся окружность перейдет сама в себя.

Рассмотрим случай пересекающихся окружности и прямой.

Если прямая проходит через центр окружности, то наше утвер­ждение вполне очевидно. На прямой имеется ровно две точки, уда­ленные от данной точки этой прямой на определенное расстояние.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть окружность с центром О пересекается с прямой а в точке А. Опустим из О перпен­дикуляр b на прямую а. Если A1 — еще одна точка пересечения прямой а с окружностью, то треугольник AOA1 является равнобедрен­ным с основанием AA1. По свойству равнобедренных треугольников перпендикуляр b делит отрезок AA1 пополам, или, иначе, A1 симметрична А относительно b. Это означает, что, помимо точки A, прямая а может пересечься с окружностью не более чем еще в одной точке.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть для треугольников ABC и А1В1С1 имеют место равенства:
АВ равно А1В1,
ВС равно В1С1,
СА равно C1A1.

Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами со­ответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симмет­ричных относительно AB точках: C и С2.

Перене­сем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со сторо­ной АВ, при этом должны совпасть вершины А1 и A, В1 и B.

Точка С1 после пе­реноса указанным образом треугольника А1В1С1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой С2. В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и А1В1С1, поскольку треугольни­ки ABC и ABС2 равны, так как эти треугольники симметричны относитель­но прямой AB.

Треугольник, как правило, задается тремя элементами.

Пусть в треугольниках ABC и А1В1С1 имеют место равенства АВ = А1В1, AС = A1С1, АВС = А1В1С1.

Обязательно ли такие треугольники равны?

Для того чтобы доказать, что такие треугольники могут быть и неравными, достаточно «предъявить» два неравных треугольника, у которых равны указан­ные в условии элементы. Как говорят математики, построить опро­вергающий пример.

Рассмотрим на плоскости какой-нибудь острый угол, вершину которого обозначим буквой В.

Возьмем на одной из его сторон точку А и с центром в этой точке нарисуем окруж­ность, которая пересекает другую сторону угла в двух точках. Обо­значим эти точки через С и С1.

Один из двух получившихся тре­угольников — это АВС, а другой — АВС1 (можно считать, что точки А и A1, В и В1 совпадают).

Как видим, эти треугольники не равны, хотя и удовлетворяют всем условиям нашей задачи.

Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и ка­тет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.

Кроме того, из первого признака равенства треугольников сле­дует равенство прямоугольных треугольников по двум катетам.

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных задач, напом­ним о тех условностях, которые связаны с задачами на построение.

Во всех таких задачах, если не сделано оговорок, речь идет о по­строении с помощью циркуля и линейки.

С помощью линейки мы можем через любые две точки плоско­сти провести прямую линию. И ничего более! Математическая ли­нейка односторонняя и не имеет делений.

С помощью циркуля мы можем построить окружность с задан­ным центром и заданным радиусом. При этом радиус задается ука­занием таких двух точек на плоскости, расстояние между которыми равно радиусу.

С помощью циркуля мы можем также отложить отрезок, равный данному.

Для построения перпендикуляра достаточно сначала по­строить точку А', симметричную А относительно L.

Для этого по­строим две окружности с центрами на L, проходящие через точку А. Вторая точка пересечения этих окружностей и даст точку А'.

Проведя прямую АА', мы получим искомый перпендикуляр.

Если на плоскости изображен треугольник, то мы без труда сможем в любом месте плоскости построить треугольник, равный изобра­женному.

Будем исходить из третьего признака равенства треуголь­ников.

Откладываем в нужном месте отрезок, равный одной из сто­рон треугольника.

Затем с центрами в концах этого отрезка строим две окружности, радиусы которых равны двум другим сторонам.

Находим точку пересечения построенных окружностей.

Точно так же строится треугольник по трем сторонам. Разница лишь в том, что дано не изображение треугольника, а три отрезка, равные его сторонам.

Пример из раздела "Преобразование рациональный выражений"

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Обозначим через В — точку касания касательной с окружностью. Как мы знаем, угол АВО пря­мой. В прямоугольном треугольнике АВО известен катет ВО, равный радиусу окружности, и гипотенуза АО. По этим данным можно по­строить треугольник, равный треугольнику АВО.

Для этого построим две перпендикулярные прямые в любом месте плоскости. На одной из прямых от точки Р — точки их пере­сечения — отложим отрезок РК, равный радиусу окружности.

Прове­дем окружность радиуса АО с центром в точке К.

Обозначим через М точку пересечения этой окружности со второй прямой.

Получившийся прямоугольный треугольник МРК равен тре­угольнику АВО по специальному признаку равенства прямоугольных треугольни­ков.

Катет МР равен касательной АВ.

Теперь строим ок­ружность с центром в точке А и радиусом, равным МР.

Точки ее пе­ресечения с данной окружностью будут точками касания.

Соединяя их с А, получим искомые прямые.

Из наших рассуждений следует, что через произвольную точку, расположенную вне окружности, можно провести ровно две пря­мые, касающиеся этой окружности. При этом отрезки касательных от данной точки до точек касания равны.

Последнее коротко можно выразить следующим образом: касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Тема 4. "Свойства арифметического квадратного корня"
Математика для 9 класса. Алгебра

Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Пример из темы "Решение систем уравнений"


Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Решение примера из темы "Решение систем линейных неравенств"

Пример из темы "Решение двойного неравенства".


Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka

Пример из темы " Определения и основные свойства функций sin (x), cos (x), tg (x), ctg (x)"


Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka