Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: http://www.berdov.com
Есть у тригонометрических уравнений такая неприятная особенность — сложные и некрасивые ответы. Особенно это касается квадратных уравнений относительно синуса и косинуса.

Сегодня мы научимся объединять наборы корней в более крупные и простые конструкции, с которыми в дальнейшем намного легче работать.

Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: http://www.berdov.com
В первой части этого урока мы научились искать симметричные корни с помощью тригонометрического круга. Сегодня же воспользуемся чисто алгебраическими приемами.

Правило, которое мы сегодня рассмотрим, называется формулой понижения степеней в тригонометрическом уравнении. Эта формула легко выводится из косинуса двойного угла (в уроке будет показано, как и что именно надо выводить). Зная формулы понижения степеней, вы еще более упростите себе жизнь при решении квадратных тригонометрических уравнений.

Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: http://www.berdov.com
Однородные уравнения всегда стояли особняком в школьной программе математики. Шутка ли: на них спотыкаются даже многие учителя, не говоря уже об учениках!

Сегодня мы рассмотрим сразу три однородных тригонометрических уравнения, на примере которых изучим общий алгоритм решения, состоящий всего из двух шагов.:)

http://www.berdov.com/docs/tri....gonometriya/odnorodn

Проще всего решить однородное тригонометрическое уравнение, разделив обе его части на косинус. Таким образом, задача сведется к уравнению относительно тангенса.

Однако при этом нужно проверить: не является ли нулевое значение косинуса одним из ответов в данном уравнении. И если является — вынести косинус за скобку.

Диофантовы уравнения (они же — уравнения в целых числах) встречаются в последней задаче из профильного ЕГЭ по математике. Но куда важнее другое: методы их решений представляют самостоятельную ценность. Поэтому решению диофантовых уравнений будет посвящена целая серия видюшек.

Сегодня мы разберём лишь самые простые уравнения — их можно назвать линейными. Но уже на их примере мы узнаем, что такое вычеты и как они помогают решать подобные задачи.

В этом видео мы разберём довольно простую, но очень показательную задачу 19 — в ней по сути собрано всё, что приходится применять для грамотного обоснования ответов, особенно в пунктах б) и в). Многие преобразования в алгебре мы выполняем "на автомате", даже не задумываясь, как они влияют на ответ. Заметить такие преобразования и сделать из них правильные выводы — ключевой навык для решения задач 19 в ЕГЭ.:)

Первый и самый главный урок, посвящённый решению задач 19 из ЕГЭ по математике. Разбираем правила работы с арифметическими прогрессиями, представление чисел в позиционной системе счисления и, наконец, самое противное — метод перебора вариантов для решения диофантовых уравнний.:)

Страница урока на сайте:
https://www.berdov.com/ege/teo....riya-chisel/pozicion

Арифметическая прогрессия в ЕГЭ по математике — задание 19. Разбор задачи из последних вариантов перед экзаменом.

Оригинал урока:
http://www.berdov.com/ege/teor....iya-chisel/arifmetic

Типичное задание 19 из профильного ЕГЭ по математике 2016. Для решения нужно знать формулу суммы арифметической прогрессии, а также разложить чила на множители.

Данный тип задач относится к относительно несложным, поэтому решать их (по крайней мере, пункт а) может научиться почти любой школьник. Пункт б) уже требует более глубоких знаний и построения гипотез. Пубнкт в) вообще предполагает использование делимости и решение диофантовых уравнений.:)

Это видео записано репетитором по математике Павлом Бердовым. Оригинал урока на сайте:
http://www.berdov.com/ege/teor....iya-chisel/arifmetic

Это первый видеоурок, посвящённый задачам 19 из ЕГЭ по математике (теория чисел). В ней мы рассмотрим, как в принципе обособляются целочисленные величины на координатной прямой.:)

Оригинал видео:
http://www.berdov.com/ege/teor....iya-chisel/funkcii-s

Начинаем разбирать задачи 19 из профильного ЕГЭ по математике — самые сложные, практически олимпиадного уровня.:)

Раздел на сайте, посвящённый задачам 19:
http://www.berdov.com/ege/teoriya-chisel/

Домашнюю работу можно скачать на сайте:
https://www.berdov.com/docs/polynom/shema-gornera/

Схема Горнера — это таблица, позволяющая быстро делить многочлен на линейный двучлен. Применяется для решения уравнений высших степеней и для разложения многочленов на множители.

В этом уроке мы детально рассмотрим: откуда берётся схема Горнера, почему она работает и где применяется. Решим большое количество задач на эту схему.

В видео обнаружена ошибка:
1:07:10 — вместо (x − 2), очевидно, нужно написать (x + 2).

Ещё один урок по теме квадратных уравнений. У многих учеников, которые даже научились решать уравнения через дискриминант, возникают проблемы с неполными квадратными уравнениями — такими, в которых один из коэффициентов равен нулю.

Как решать такие уравнения и не допускать глупых ошибок — об этом в сегодняшнем видео.:)

Оригинал урока:
http://www.berdov.com/docs/equ....ation/nepolnie-kvadr

В этом видео мы разберём, как решаются квадратные уравнения с помощью дискриминанта и основной формулы — формулы корней. Этот урок будет полезен тем, кто сейчас изучает решение квадратных уравнений.:)

Основной урок:
http://www.berdov.com/docs/equ....ation/formula-korney

Краткое руководство по основным видам графиков и их сдвигам вдоль координатных осей. Этот урок поможет вам разобраться со сдвигами и применять их для решения сложных задач.

Мы рассмотрим несколько приёмов:
1. Выделение точного квадрата в квадратичной функции для выяснения сдвигов вдоль координатных осей;
2. Поиск пересечения графиков разных функций для решения системы уравнений;
3. Анализ графиков разных функций для выяснения их взаимного расположения. Полезный приём при решении неравенств

Сдвиги графиков — очень полезный инструмент при решении задач с параметром (обычно сдвиг выполняется на переменную величину). Кроме того, с помощью сдвигов можно быстро рисовать схематические картинки, из которых станет понятно взаимное расположение различных кривых на плоскости. А заодно обнаруживать точки, заслуживающие более внимательного рассмотрения. Так что вперёд.:)

00:09 Виды графиков и их сдвигов (вдоль оси OX и OY)
06:22 Задача на сдвиг параболы
14:09 Графическое решение системы уравнений
19:28 Графическое решение неравенств

Цель урока — научиться строить график квадратичной функции (т.е. параболу), а затем с помощью графика проводить элементарное исследование квадратичной функции.

Задач, в которых так или иначе фигурирует парабола, великое множество. Это одна из тем, которые будут преследовать вас до самого конца школы.

Ключевые навыки, которые мы сегодня отработаем:
1. Собственно, строить параболу и определять: лежит ли на ней точка с указанными координатами или не лежит;
2. Определять, где функция возрастает, а где убывает;
3. Искать наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции на заданном отрезке;
4. Наконец, отработаем графическое решение уравнений и систем, в которых фигурируют линейные и квадратичные функции

В этом несложном видеоуроке мы изучим графики простейших функций — линейной, квадратичной, а также гиперболу. И научимся сопоставлять их друг с другом.:)

Оригинал видео:
http://www.berdov.com/oge/graf....iki/parabola-giperbo

Продолжаем работать с обобщёнными гиперболами. Рассмотрим задачу с параметром из ДВИ МГУ. Этот урок — один из первых, относящихся к уровню сложности "Эксперт". Действительно сложная и красивая задача, для решения которой даже подготовленному ученику придётся напрячь мозги.

Основные идеи, которые мы рассмотрим:
1. Как ведёт себя линейный и квадратичный многочлен от двух переменных при приближении к своим нулям.
2. Когда имеет смысл искать обобщённые гиперболы и как это делать;
3. При каких условиях можно переходить от неравенства к уравнению. И как не потерять корни;
4. Мысли на будущее: метод областей как обобщение метода интервалов.:)

00:03 Знаки линейного многочлена на координатной плоскости
04:13 Знаки квадратного многочлена. Происхождение гиперболы
06:44 Простой критерий: когда стоит искать гиперболу
00:11 Задача с параметром из ДВИ МГУ
49:19 Замечание про метод областей

Наверняка вы знаете, как выглядит стандартная гипербола. Две кривых в 1 и 3 координатных четвертях (ну или во 2 и 4 четвертях). Координатные оси служат для таких гипербол асимптотами: график бесконечно близко прилегает к осям, но никогда их не пересекает и никогда не сливается с ними.

А что, если в качестве асимптот рассмотреть не привычные нам координатные оси, а произвольные пересекающиеся прямые на плоскости? Как в этом случае будет выглядеть график? И какими свойствами он будет обладать?

Сегодня мы будем строить (хотя бы схематично) гиперболы на произвольных осях. Научимся определять, в каких секторах, возникающих при пересечении осей, будут лежать графики. И как можно использовать это для решения сложных задач.

А в качестве примера рассмотрим задание 18 из профильного ЕГЭ по математике 2017. В том году задача с параметром существенно изменилась: графики строились легко, но интерпретировать полученные чертежи большинство учеников не смогли. Гиперболы из сегодняшнего урока помогут нам справиться с этой проблемой.:)

00:03 Краткая вводная: о чём речь
01:08 Определяем гиперболу на произвольных осях
09:30 Задание из ЕГЭ про гиперболы
31:50 Вывод о знаках гиперболы

Сегодня мы разберём две задачи из недавно прошедшего профильного ЕГЭ по математике. Особенность всех задач, представленных в 2017 году (и, я полагаю, в 2018 году тоже), состоит в том, что само уравнение решается легко, а вот дальнейшие рассуждения может выполнить далеко не каждый ученик.

Таким образом, основной упор в задаче 18 в будущих ЕГЭ делается не на умение решать уравнения или неравенства, а на умении правильно логически рассуждать, анализировать полученные корни и ограничения. Это навык совершенно другого уровня, и мы будем отрабатывать его многократно в будущих видеоуроках.