Исключительно важный урок для тех, кто действительно хочет разобраться с корнями. Сравнение иррациональных выражений — типичная задача на ЕГЭ или ОГЭ по математике. Для неё есть универсальный алгоритм:
1. Уединить радикал путём элементарных преобразований;
2. Возвести обе части неравенства в квадрат;
3. Повторять шаги 1 и 2 до тех пор, пока корней не останется;
4. ... PROFIT!

90% задач на сравнение решаются этим способом. Остальные 10% либо приводят к громоздким вычислениям, либо не решаются вообще. Как быть в этом случае?

У корня есть несколько важных свойств, которые позволяют сравнивать их в обход стандартного алгоритма. Более того: эти свойства являются фундаментальными для многих функций (подробнее об этом поговорим в матанализе), поэтому их надо знать в любом случае — любите вы корни или нет.:)

00:07 Стандартный алгоритм сравнения иррациональных чисел
04:11 Сравнение сложных корней: аналитический метод
08:29 Замечание о среднем арифметическом
09:27 Сравнение сложных корней: графический метод
15:53 Замечание о выпуклости графиков функций

Квадратный корень — зло. Его не любят, не понимают, не уважают. А зря.

Сегодня мы будем избавляться от корня путём выделения точного квадрата под ним. Это легко сделать с помощью квадрата суммы или разности, когда под корнем два слагаемых.

А если слагаемых будет три? А если четыре? Формула квадрата суммы или разности всё равно работает. Вот только это будет уже сумма ТРЁХ слагаемых, а не двух, как раньше.

00:03 Краткая вводная: квадрат суммы ТРЁХ слагаемых
04:51 Собственно, задача
16:10 Замечание об алгебраической сумме

Чрезвычайно полезный навык — избавление от квадратного корня, под которым стоит точный квадрат суммы или разности. Когда оба слагаемых в этом квадрате рациональные, никак проблем: вычисляем сумму, затем извлекаем корень — и всё.

Но если одно из слагаемых само содержит корень, то при возведении в квадрат этот корень никуда не исчезнет. В результате мы получим сумму двух слагаемых — рационального и иррационального. Увидеть в этой сумме точный квадрат бывает затруднительно. Поэтому сегодня мы рассмотрим универсальный алгоритм, позволяющий увидеть этот точный квадрат, либо убедиться, что никаких квадратов там нет.

00:16 Пример выделение точного квадрата
03:30 Основная идея: квадрат суммы или разности
05:09 Собственно, алгоритм выделения точного квадрата
09:39 Разбор более сложного примера

Сегодня в 12:00 МСК. Продолжительность вебинара — 2—3 часа.:)

Сегодня мы научимся решать иррациональные уравнения двух типов:
1. Корень равен корню;
2. Корень равен функции.

Но перед тем как разбирать какие-либо формулы и приёмы, давайте вспомним точное определение самого корня, а также однозначно определимся с тем, что же называть иррациональным уравнением.

В этом видео мы раз и навсегда разберёмся: что такое корень степени n, какими свойствами он обладает и что с ним вообще можно сделать. Помимо видео есть большой урок с задачами для самостоятельного решения: https://www.berdov.com/docs/ra....dikal/koren-stepeni-

Дело в том, что большинство учеников толком не умеют работать с корнями, поскольку в школе их объясняют крайне запутано. Поэтому сегодня будут даны два чётки определения корня (для чётных и нечётных степеней), а заодно обоснованы причины: почему мы используем именно такие определения.

В этом уроке мы рассмотрим довольно сложное иррациональное уравнение, для решения которого нам потребуется целый комплекс алгоритмов: и решение классических иррациональных уравнений, и замена переменных, и даже производная функции.

Но если вы возьмёте на вооружение все указанные приёмы, "нерешаемых" уравнений в школьном курсе математики для вас практически не останется.:)

Оригинал видеоурока:
http://www.berdov.com/docs/rad....ikal/vozvedenie-v-kv

Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: http://www.berdov.com
Иррациональные уравнения — головная боль для многих учеников. На самом деле они решаются очень просто, но нужно учитывать область определения и область значения функции-корня. Такие уравнения встречаются в задачах C3 и C5 ЕГЭ по математике.

Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: https://www.berdov.com
Существует алгоритм, с помощью которого легко считаются квадратные корни из любого числа в пределах от 100 до 10 000 без калькулятора. Разумеется, при условии, что такой корень вообще является рациональным числом. Попробуйте — и я уверен, что очень скоро вы будете считать корни с бешеной скоростью :)

Очень часто в своей практике работы репетитором по математике сталкиваюсь с такой ситуацией: ученик 10—11 класса прекрасно работает с логарифмами и стереометрией, но спотыкается в таких, казалось бы, простых вещах, как арифметические корни.

В этом видеоуроке я покажу очень быстрый и эффективный прием, с помощью которого можно разложить на множители сложные выражения с корнями. Этот прием я объясняю всем своим ученикам, которые обращаются за услугами репетитора.

http://www.berdov.com/docs/rad....ikal/koren-preobrazo

В этом уроке репетитор по математике Павел Бердов пошагово разбирает процесс упрощения дробно-рационального выражения, содержащего знак корня.

Как правило, такие выражения упрощаются в два шага: сначала все дроби раскладываются на множители, а затем они приводятся к общему знаменателю. Более сложные конструкции, состоящие из большого количества действий, разбиваются на отдельные шаги.

http://www.berdov.com/docs/rad....ikal/koren-preobrazo
В этом видео мы разберем более сложную задачу на упрощение выражений с корнем. При этом количество действий не изменится — их по-прежнему будет три. Кроме того, мы наткнемся на довольно опасный математический эффект — полное сокращение знаменателя.

http://www.berdov.com/docs/mod....uli/uravnenija-modul

Иногда коэффициенты в уравнении, содержащем знак модуля, подобраны таким образом, что после раскрытия модуля переменная может вообще исчезнуть. Как не ошибиться в этом случае? Как правильно интерпретировать такой результат и грамотно записать итоговый ответ? Об этом — сегодняшнее видео.

http://www.berdov.com/docs/mod....uli/oblast-znachenij

Сегодня мы рассмотрим простой, но очень эффективный прием, позволяющий в несколько раз упростить вычисления в сложных уравнениях, содержащих знак модуля. В двух словах этот прием можно описать так: «Если сумма двух неотрицательных функций равна нулю, то каждая из этих функций также равна нулю».

http://www.berdov.com/docs/mod....uli/drobno-racionaln

Сегодня мы рассмотрим более сложную задачу, содержащую и дробь, и модуль в числителе. По существу, все сводится к простейшему уравнению с модулем, однако следует внимательно следить за областью определения таких выражений.

http://www.berdov.com/docs/mod....uli/uravnenie-dva-mo

Сегодня мы разберем всего одно простое (на первый взгляд) уравнение с двумя модулями. Однако на его примере мы изучим эффективный универсальный алгоритм, с помощью которого решается вообще любое уравнение, состоящее из двух и более выражений-модулей. При этом, однако, возникает несколько подводных камней — и именно на них я обращу ваше особое внимание.

http://www.berdov.com/docs/mod....uli/prostejjshie-ura

Этим уроком я начинаю серию видео, посвященных уравнениям и неравенствам, содержащим знак модуля. И как всегда мы начнем с самых простых задач, на которых, однако, очень легко споткнуться, если недостаточно хорошо знать теорию.

В этом коротком видеоуроке мы разберем стандартный метод решения простейших иррациональных уравнений, содержащих знак модуля. Автор урока — репетитор по математике в Москве Павел Бердов.

Большой урок, посвящённый решению неравенств с модулем. Основная страница урока:
https://www.berdov.com/docs/mo....duli/reshenie-nerave

00:39 Что уже нужно знать
04:23 Решение неравенств вида Модуль меньше Функции
16:12 Решение неравенств вида Модуль больше Функции
20:55 Неравенства с неотрицательными функциями
29:21 Самый общий и универсальный алгоритм
47:06 Разбор более сложных задач
1:10:40 Комбинация модуля и рациональных дробей

Решение неравенств с модулем всегда сводится к избавлению от этих самых модулей. Как? Существует минимум четыре метода убрать модуль из исходного неравенства — все их мы сегодня и рассмотрим.:)

Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: http://www.berdov.com
Еще одна задача B2 с практическим содержанием, которая встречается на настоящем ЕГЭ 2014 по математике. В принципе, это типичная задача на проценты, но здесь добавлено округление с избытком/недостатком — прямо как в задачах на шоколадки и т.д. При этом есть шанс округлить не в ту сторону, т.к. в задаче явно не сказано, какое именно число мы должны получить на выходе: большее или меньше. В общем, обязательно потренируйтесь в решении таких задач!