В этом уроке будет совсем немного теории и очень много практики. Мы узнаем, что такое описанная окружность, какие у неё свойства, научимся работать со вписанными треугольниками и четырёхугольниками и разберём несколько действительно интересных задач.

01:52 Теория: что нужно знать про описанные окружности
29:36 Задача 1: вписанный треугольник
45:16 Задача 2: вписанный четырёхугольник
53:48 Задача 3: применение тригонометрии
01:06:09 Задача 4: взаимодействие вписанной и описанной окружности
01:15:50 Задача 5: более сложная комбинация вписанной и описанной окружности
01:23:58 Задача 6: вписанные и описанные четырёхугольники
01:34:15 Задача 7: сложная задача на четырёхугольники
01:52:26 Задача 8: введение переменных
02:03:44 Заключение

Касательная — один из самый простых (и одновременно самых нелюбимых) объектов в планиметрии. Вообще, всё, что касается окружностей, большинство учеников не любят. И правильно делают.:)

00:00:06 Вводная теоретическая часть
00:15:30 Простейшие задачи
00:35:57 Формирование касательных из условия
00:51:16 Взаимодействие касательной и секущей
01:00:33 Общие касательные двух окружностей — 1
01:10:22 Общие касательные двух окружностей — 2
01:30:05 Описанные многоугольники
01:40:35 Более сложные приложения (теорема косинусов)
01:53:09 Заключение

Сегодня мы рассмотрим все ключевые свойства касательной, которые нужно знать. А заодно решим кучу задач. Также вы можете скачать домашнюю работу на сайте:
https://www.berdov.com/docs/ok....rujnost/chto-takoe-k

Большой урок, посвящённый определителям матриц и их вычислению.

01:24 Краткая вводная. Что надо знать о матрицах
05:38 Геометрическое определение определителя
11:57 Алгебраическое определение определителя
36:20 Практика. Матрицы 2x2 и 3x3
48:10 Миноры и алгебраические дополнения
59:01 Теорема Лапласа
1:04:29 Разложение определителя по строке (столбцу)
1:15:40 Основные свойства определителей
1:25:19 Матрицы 4х4
1:44:40 Уравнения и неравенства с определителями

Определитель — одно из центральных понятий всей алгебры матриц (а заодно и векторной алгебры, но не будем о грустном). Что это такое? Как правильно считать определители? И какие у них свойства? Обо всём этом мы подробно поговорим в сегодняшнем уроке.
https://www.berdov.com/works/m....atrix/opredelitel-ma

Домашку и ответы можно скачать на сайте:
https://www.berdov.com/works/m....atrix/umnozhenie-mat

Умножение матриц в алгебре — одна из ключевых и одновременно одна из самых мозговыносящих операций. Матрицы должны быть согласованы, умножение не коммутативно, у него куча странных эффектов и т.д. Обо всём этом сегодня и поговорим.:)

00:06 Вступление
03:37 Повторение: сложение матриц и умножение на число
06:41 Определение умножения матриц
20:44 Вектор-столбцы и вектор-строки
27:32 Возведение матрицы в степень
39:55 Практика: разные матрицы

Домашку можно скачать здесь:
https://www.berdov.com/works/m....atrix/obratnaya-matr

Обратная матрица порядка n — это такая матрица B, которая при умножении на исходную матрицу A даёт единичную E. Она определена для невырожденных матриц и всегда одна.

00:39 Определение обратной матрицы
05:06 Условия существования и единственность
15:22 Теорема об обратной матрице (основной способ нахождения)
43:04 Второй способ — через присоединённую матрицу E
1:11:29 Ещё раз об элементарных преобразованиях
1:12:29 Приложение: матричные уравнения

Домашка на подходе.:)

Этот урок — своего рода шпаргалка для тех, кто хочет разобраться в тригонометрии на прямоугольном треугольнике. Мы не только вспомним что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, но и потренируемся в их применении для нахождения сторон треугольника.

Попутно вспомним важнейшие теоремы и определения:
1. Теорема Пифагора — тригонометрия в ОГЭ точно не обходится без неё;
2. Подобные треугольники — причина и одновременно следствие классической тригонометрии;
3. Касательные, секущие и хорды в окружности, а также их полезные свойства;
4. Плавный переход к серьёзной тригонометрии на единичном круге.

Итого получился максимально полезный урок как для 9, так и для 11 класса.:)

00:21 Основные факты из тригонометрии на прямоугольном треугольнике
01:42 Задание 1: учимся дополнять чертёж до прямоугольного треугольника
04:37 Теорема Пифагора и её связь с тригонометрией
06:07 Задание 2: классическая задача на решение треугольника
13:21 Задание 3: высота в прямоугольном треугольнике
21:03 Что такое подобные треугольники
22:36 Задание 4: доказываем подобие треугольников
27:37 Окружность, касательные и хорды
29:21 Задание 5: теорема о касательной и секущей к окружности
36:53 Задание 6: сложная тригонометрия в текстовой задаче

Этот урок — ключевой во всей «взрослой» тригонометрии. Мы узнаем, как с помощью тригонометрического круга найти синус, косинус, тангенс и котангенс для любого угла, выраженного в радианах. Познакомимся с тем, как строить оси тангенсов и котангенсов. А заодно составим таблицы важнейших значений тригонометрических функций и изучим парочку их свойств.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса через тригонометрический круг — это момент, разделяющий привычную там тригонометрию в прямоугольном треугольнике и алгебраическую тригонометрию, которой мы будем заниматься в 10—11 классах. На основе этих определений возникнет целый класс задач: тригонометрические уравнения и неравенства, изучение возрастания и убывания тригонометрических функций, их периодичность и т.д.

Но всё это будет чуть позже. Сегодня наша задача — просто научиться считать синус, косинус, тангенс и котангенс любого угла.:)

00:03 Краткая вводная: о чём речь
01:48 Что уже надо знать
06:53 Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла
18:39 Таблица синусов и косинусов
21:53 Примеры вычислений
30:02 Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла
37:37 Ось тангенсов и котангенсов
45:43 Замечание по этим осям
47:00 Составляем таблицу тангенсов и котангенсов с помощью осей
53:29 Чётность и нечётность
01:02:53 Практикум
01:10:44 Выводы и соображения на будущее

Тригонометрический круг — это просто единичная окружность с центром в начале координат. На ней специальным образом чертят углы, стороны которых высекают на окружности дуги, равные радианной мере. На этом строится вся #тригонометрия в старших классах и университетской математике.

Из этого урока вы узнаете, что такое тригонометрический круг и как с ним работать. Более конкретно:
1. Определение (приведено выше);
2. Как отмечать точки на тригонометрическом круге;
3. Как искать координаты этих точек;
4. Как выполнять обратную операцию: описывать все точки с заданными координатами.

Эти материалы позволят вам легко разобраться во всей «взрослой» тригонометрии. А рассматриваемые приёмы уже сейчас позволят решать множество тригонометрических задач.

00:03 Повторение: радианная мера угла
03:47 Что такое тригонометрический круг
09:11 Ещё раз: что надо знать
10:51 Алгоритм: как построить точку на круге, зная угол
20:08 Замечание 1: центральная и осевая симметрия
21:08 Замечание 2: вспомогательный квадрат
22:25 Замечание 3: правильное оформление выкладок
23:24 Алгоритм: как найти координаты точки на круге
38:35 Первые сведения о периодичности
41:26 Нахождение углов по координатам

Этот урок относится к лёгкому уровню. Чуть позже будет опубликовано ещё одно видео по тригонометрическому кругу, где мы разберём более сложные вопросы: что делать с «некрасивыми» углами, как ведут себя точки на окружности при небольших углах поворота и т.д.

Это будет жёсткая #тригонометрия, детка! Сегодня мы узнаем, что такое радианная мера угла, зачем она нужна, как соотносится 1 радиан и привычные нам 180 градусов, а также научимся переводить углы из градусов в радианы и обратно.

Ключевые темы урока:
1. Зачем нужна новая система измерения углов
2. Что такое радианная мера и как она соотносится с градусной
3. Как переводить градусы в радианы и обратно

00:03 Краткая вводная: о чём этот урок
02:01 Постановка проблемы: как измерять углы больше 180 градусов
06:30 Пример с цилиндром: где зачем нужны отрицательные углы
09:02 Ограничения синус и косинус в прямоугольном треугольнике
10:52 Определение радианной меры угла: что такое 1 радиан?
16:15 Сколько радиан в 180 градусах
20:25 Сколько радиан в 30, 45 и 60 градусах
29:35 Перевод из градусов в радианы
34:21 Практикум 1
43:15 Перевод из радиан в градусы
48:36 Практикум 2
01:06:43 Важное замечание об иррациональных числах

Как видите, никаких синусов и косинусов сегодня не будет. Даже тригонометрический круг пока не пригодится (о нём будет отдельный урок). Но без той теории, которую мы сегодня разберём, в серьёзной тригонометрии делать нечего. Поэтому вперёд — смотрите видео, делайте домашку, а если будут вопросы — велком в комментарии.:)

Деление десятичных дробей друг на друга — важнейший навык, который отрабатывают в 5 классе. Сегодня мы вспомним, что такое десятичная дробь, а затем изучит три ключевых правила деления:
1. На степень десятки;
2. На десятичную дробь специального вида (0,1, 0,01 и т.д.)
3. На произвольную десятичную дробь.

Обратите внимание: при работе с десятичными дробями мы сознательно избегаем их перевода в обыкновенные дроби, иначе придётся конструировать совсем другой алгоритм деления — громоздкий и неэффективный.

00:03 Краткая вводная: что такое десятичная дробь
01:39 Правило 1: деление на степень десятки: 10, 100, 1000 и т.д.
04:34 Правило 2: деление на десятичную дробь специального вида: 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.
06:39 Правило 3: деление на другую десятичную дробь
11:04 Учимся применять правило 2
19:10 Деление на целые числа
31:56 Учимся применять правило 3
40:43 Применение полученных знаний для решения уравнений

В качестве бонуса мы вспомним, как решать простые линейные уравнения, поскольку в них постоянно возникают десятичные дроби. Ничего сложного в таких уравнениях нет — это всё материал 5 класса.

Сегодня мы изучим свойства биссектрис трапеции. Три несложных факта, которые при желании легко выводятся прямо на контрольной работе или экзамене, но зачастую их в упор не замечают даже хорошо подготовленные ученики.

Основные идеи:
1. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции образуют равнобедренные треугольники;
2. Эти же биссектрисы формируют прямоугольные треугольники, причём вершина прямого угла лежит на средней линии трапеции;
3. То же самое верно и для параллелограмма, но в этом случае к делу подключаются ещё и подобные треугольники.

Теории будет совсем немного, потому что главное в геометрии — это практика. Заодно научимся строить красивые чертежи.:)


00:42 Основной факт: биссектрисы односторонних углов задают равнобедренные треугольники
01:44 Задание 1: внешние углы трапеции
12:03 Замечание про среднюю линию трапеции
12:51 Задание 2: внутренние углы и средняя линия трапеции
30:07 Замечание про подобные треугольники
30:53 Задание 3: биссектрисы в параллелограмме

Продолжаем изучать трапеции. В прошлый раз мы обсуждали диагонали и свойства треугольников, образующихся при пересечении этих диагоналей. Сегодня рассмотрим трапеции специального вида — в которые можно вписать окружность.

Главный факт: если в трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Кроме того, центр вписанной окружности лежит на средней линии этой трапеции, а сама средняя линия разбивает исходную трапецию на две маленьких с равными высотами, совпадающими с радиусом вписанной окружности.

Казалось бы, мелкие и очевидные факты. Но сегодня вы узнаете, насколько эти факты способны упростить решение многих геометрических задач.

00:23 Основные свойства описанной трапеции
01:21 Задача 1: сравнение площадей и доказательство свойств
10:40 Где можно применять эти свойства
11:44 Задача 2: построение вспомогательной трапеции
18:45 Свойства равнобедренной трапеции
19:18 Задача 3: равнобедренная трапеция с привлечением тригонометрии
30:03 Заключение: самое главное, что надо знать

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения на отрезки, пропорциональные основаниям. И вместе с этими основаниями диагонали формируют подобные треугольники.

Эти простые замечания могут значительно упростить вам жизнь на экзамене, если в задаче попадётся трапеция. Такие задачи любят давать и в ОГЭ, и в ЕГЭ по математике.

Ключевые факты из урока:
1. Свойства диагоналей, описанные выше;
2. Формула для секущей, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции;
3. Трапеция, вписанная в окружность, всегда равнобедренная.

00:18 Ключевой факт о диагоналях трапеции
02:59 Задание 1: найти секущую, зная основания трапеции
10:38 Формула секущей, параллельной основаниям трапеции
11:25 Задание 2: найти основания трапеции, зная секущую
18:24 Задание 3: вписанная трапеция с перпендикулярными диагоналями

В прошлом уроке было дано новое определение — что такое степень. Сегодня мы изучим 5 важнейших свойств степени, которые позволяют упрощать выражения, решать нестандартные уравнения и просто быстро считать.

Урок относится к категории лёгких. Ничего сложного сегодня не будет, весь представленный материал — это программа-минимум для 7 класса. В конце вас ждёт довольно интересный практикум, в котором применяются все изученные свойства.:)

00:44 Краткая вводная по материалам предыдущего урока
03:23 Правило сложения степеней
18:44 Правило деления степеней
35:00 Возведение степени в степень
39:47 Степень произведения
52:21 Степень частного
01:07:07 Практикум по степеням

САЙТ: http://matematikaprosta.ru/
Сдай ЕГЭ на 5!
Курсы http://egematkurs.ru/
Моя страница: https://vk.com/darkirill
Подготовка гр. ВК: https://vk.cc/734JvN Устал учиться❓
⬇Отдохни и поиграй лучшие онлайн игры на компе⬇
⚡ http://igraionline.ru/ ⚡

САЙТ: http://matematikaprosta.ru/
Сдай ЕГЭ на 5!
Курсы http://egematkurs.ru/
Моя страница: https://vk.com/darkirill
Подготовка гр. ВК: https://vk.cc/734JvN Устал учиться❓
⬇Отдохни и поиграй лучшие онлайн игры на компе⬇
⚡ http://igraionline.ru/ ⚡

САЙТ: http://matematikaprosta.ru/
Сдай ЕГЭ на 5!
Курсы http://egematkurs.ru/
Моя страница: https://vk.com/darkirill
Подготовка гр. ВК: https://vk.cc/734JvN Устал учиться❓
⬇Отдохни и поиграй лучшие онлайн игры на компе⬇
⚡ http://igraionline.ru/ ⚡

САЙТ: http://matematikaprosta.ru/
Сдай ЕГЭ на 5!
Курсы http://egematkurs.ru/
Моя страница: https://vk.com/darkirill
Подготовка гр. ВК: https://vk.cc/734JvN Устал учиться❓
⬇Отдохни и поиграй лучшие онлайн игры на компе⬇
⚡ http://igraionline.ru/ ⚡

САЙТ: http://matematikaprosta.ru/
Сдай ЕГЭ на 5!
Курсы http://egematkurs.ru/
Моя страница: https://vk.com/darkirill
Подготовка гр. ВК: https://vk.cc/734JvN Устал учиться❓
⬇Отдохни и поиграй лучшие онлайн игры на компе⬇
⚡ http://igraionline.ru/ ⚡

САЙТ: http://matematikaprosta.ru/
Сдай ЕГЭ на 5!
Курсы http://egematkurs.ru/
Моя страница: https://vk.com/darkirill
Подготовка гр. ВК: https://vk.cc/734JvN Устал учиться❓
⬇Отдохни и поиграй лучшие онлайн игры на компе⬇
⚡ http://igraionline.ru/ ⚡