Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть для треугольников ABC и А1В1С1 имеют место равенства:
АВ равно А1В1,
ВС равно В1С1,
СА равно C1A1.
Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и С2.
Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины А1 и A, В1 и B.
Точка С1 после переноса указанным образом треугольника А1В1С1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой С2. В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и А1В1С1, поскольку треугольники ABC и ABС2 равны, так как эти треугольники симметричны относительно прямой AB.