Биссектриса угла

Биссектрису угла также можно рассматривать как геометрическое место точек.

Докажем, что геометрическим местом точек, располо­женных внутри данного угла и равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Проведем сле­дующие рассуждения.

Первое рассуждение.

Если точка М расположена внутри угла и находится на равных расстояниях от его сторон, то М лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство.

Опустив перпендикуляры МА и МВ на стороны угла, из равенства МА = МВ на основании соответствующего признака равенства прямоугольных треугольников получим, что треугольни­ки ОМА и ОМВ равны. Значит, равны углы МОА и МОВ, т.е. OM — биссектриса угла АОВ.

Второе рассуждение.

Если точка М лежит на биссектрисе, то М равноудалена от сторон угла.

Доказательство.

При симметрии относи­тельно прямой, содержащей биссектрису, стороны угла перейдут друг в друга.

Напомним, что через любую точку плоскости проходит единствен­ный перпендикуляр к заданной прямой.