Теорема о числе точек пересечения окружности и прямой

Рассмотрим случай пересекающихся окружности и прямой.

Если прямая проходит через центр окружности, то наше утвер­ждение вполне очевидно. На прямой имеется ровно две точки, уда­ленные от данной точки этой прямой на определенное расстояние.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть окружность с центром О пересекается с прямой а в точке А. Опустим из О перпен­дикуляр b на прямую а. Если A1 — еще одна точка пересечения прямой а с окружностью, то треугольник AOA1 является равнобедрен­ным с основанием AA1. По свойству равнобедренных треугольников перпендикуляр b делит отрезок AA1 пополам, или, иначе, A1 симметрична А относительно b. Это означает, что, помимо точки A, прямая а может пересечься с окружностью не более чем еще в одной точке.