Кратчайшие расстояния на плоскости

Рассмотрим классическую геометриче­скую задачу такого рода, которой очень легко придать заниматель­ный вид. Но мы этого делать не будем и ограничимся сухой матема­тической формулировкой.

Дана прямая L и две точки А и В по одну сторону от нее. Най­дите на прямой L точку М такую, чтобы длина двузвенной ломаной АМВ была наименьшей.

Решение задачи затрудняет то, что точки А и В расположены по одну сторону от L. Вот если бы... (впрочем, не будем пытаться пока­зать, каким образом смутная догадка может оформиться в настоя­щее решение). Рассмотрим само решение.

Возьмем любую точку М на прямой L. Построим точку А', симметричную А относительно L. Поскольку АМ=А'М, длина ломаной АМВ всегда равна длине ломаной А'МВ.

Но последняя будет наименьшей, когда она превращается в отрезок прямой. Значит, искомой точкой на L будет точка, в которой ее пересечет отрезок А'В. Обозначим ее через М0.

Из соответствующих свойств углов следует, что для найденной точки М0 лучи М0A и М0В образуют с L равные углы.

Именно по та­кому закону происходит отражение света, т.е. если бы мы смогли направить луч света из А так, чтобы он, отразившись от прямой L, попал в В, то этот луч реализовал бы кратчайший путь.