Сравнение сложных корней: графический и аналитический метод

Исключительно важный урок для тех, кто действительно хочет разобраться с корнями. Сравнение иррациональных выражений — типичная задача на ЕГЭ или ОГЭ по математике. Для неё есть универсальный алгоритм:
1. Уединить радикал путём элементарных преобразований;
2. Возвести обе части неравенства в квадрат;
3. Повторять шаги 1 и 2 до тех пор, пока корней не останется;
4. ... PROFIT!

90% задач на сравнение решаются этим способом. Остальные 10% либо приводят к громоздким вычислениям, либо не решаются вообще. Как быть в этом случае?

У корня есть несколько важных свойств, которые позволяют сравнивать их в обход стандартного алгоритма. Более того: эти свойства являются фундаментальными для многих функций (подробнее об этом поговорим в матанализе), поэтому их надо знать в любом случае — любите вы корни или нет.:)

00:07 Стандартный алгоритм сравнения иррациональных чисел
04:11 Сравнение сложных корней: аналитический метод
08:29 Замечание о среднем арифметическом
09:27 Сравнение сложных корней: графический метод
15:53 Замечание о выпуклости графиков функций