Построение прямой, параллельной данной
Построим окружность, проходящую через точку А и пересекающую прямую L в точках В и С так, что отрезки АВ и АС не равны.
Для этого центр окружности не должен лежать на перпендикуляре к прямой L, проходящем через А.
Построим теперь еще одну окружность с центром в С и радиусом, равным АВ.
Среди точек пересечения построенных окружностей есть одна точка, соединив которую с А мы получим прямую, параллельную L.
Докажем это.
Рассмотрим прямую P, проходящую через центр первой из построенных окружностей и перпендикулярную L.
При симметрии относительно прямой P точки В и С переходят одна в другую. Точка А перейдет в такую точку А' первой окружности, для которой СА'=ВА.
Это означает, что А' — одна из точек пересечения наших окружностей.
Заметим, что А' не может совпасть с А. Вот для чего потребовалось условие АВ не равно АС.
Прямые L и АА' перпендикулярны одной прямой P, а значит, они параллельны.
