Построение прямой, параллельной данной

Построим окружность, проходящую через точку А и пе­ресекающую прямую L в точках В и С так, что отрезки АВ и АС не равны.

Для этого центр окружности не должен лежать на пер­пендикуляре к прямой L, проходящем через А.

Построим теперь еще одну окружность с центром в С и радиусом, равным АВ.

Среди точек пересечения построенных окружностей есть одна точка, соединив которую с А мы получим прямую, параллельную L.

Дока­жем это.

Рассмотрим прямую P, проходящую через центр первой из построенных окружностей и перпендикулярную L.

При симметрии относительно прямой P точки В и С переходят одна в другую. Точка А перейдет в такую точку А' первой окружности, для которой СА'=ВА.

Это означает, что А' — одна из точек пе­ресечения наших окружностей.

Заметим, что А' не может совпасть с А. Вот для чего потребовалось условие АВ не равно АС.

Прямые L и АА' перпендикулярны одной прямой P, а значит, они параллельны.