Mga nangungunang video
Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka
Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka
Точка — это то, что не имеет частей и размеров. Как и поверхность, и линия, точка является математической абстракцией. В реальной жизни не существует предметов, не имеющих размеров. Однако всякий маленький по сравнению с окружением предмет мы считаем точкой. Точка — это мельчайшая частица (атом) геометрии.
Любое геометрическое тело, поверхность, линия, любая геометрическая фигура состоит из точек, или, как говорят математики, представляет собой множество точек.
Древнегреческий геометр Евклид говорил, что «точка — это то, что не имеет частей». Мы можем добавить, что точка не имеет размеров. Всякий очень маленький по сравнению с рассматриваемым окружением предмет мы считаем точкой.
Точкой является отверстие, оставленное иглой в листе бумаги.
Жук на поверхности Земли.
Город на географической карте.
Или наша планета в Солнечной системе.
Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka
Геометрическое тело — часть пространства; имеет три измерения, которые мы условно называем длиной, шириной и высотой (или толщиной).
Поверхность — граница геометрического тела; имеет два измерения — длину и ширину.
Линия образуется при пересечении двух поверхностей; имеет одно измерение — длину.
Точка образуется при пересечении двух линий; не имеет размеров.
Точка — «то, что не имеет частей»; не имеет размеров.
Линия получается при движении точки; имеет одно измерение — длину.
Поверхность заполняется или заметается при движении линии; имеет два измерения — длину и ширину.
Тело заполняется поверхностями; имеет три измерения — длину, ширину и высоту (или толщину).
Алгоритм решения
1) Выбрать из уравнений системы то, в котором возможны тождественные преобразования, приводящие к упрощению вида уравнения.
2) Из упрощенного уравнения выразить одну переменную через другую.
3) Выполнить подстановку во второе уравнение системы.
4) Решить полученное уравнение с одним неизвестным.
5) Используя найденное значение, найти значение второй переменной.
6) Проверить, принадлежат ли найденные значения переменных пересечению областей допустимых значений обоих уравнений.
Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka
Презентации по математике (UA):
https://teachua.com/add/matematyka
Через любые две точки плоскости можно провести прямую линию и притом только одну.
Прямую, проходящую через точки А и В, мы будем называть прямой АВ.
Как видите, такая прямая — единственная.
Обозначение АВ используется в трех случаях:
— оно может обозначать отрезок или его длину;
— луч;
— прямую.
Но никакой путаницы в наши рассуждения это не внесет, просто в каждом случае будем указывать, о чем идет речь.
Расстояние на плоскости между двумя точками А и В равно длине отрезка АВ. Кратчайший путь из A в B — это путь по прямой, соединяющей эти точки.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами.
Из определения градусной меры следует, что сумма величин градусных мер смежных углов равна 180°.
Если угол равен углу, смежному с ним, то такой угол называется прямым. Величина прямого угла равна 90°.
Углы, меньшие 90°, называются острыми.
Углы от 90° до 180° — тупыми.
Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая переходит сама в себя.
Если две прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярны, то при симметрии относительно одной из них вторая прямая переходит сама в себя.
Из определения симметрии следует, что любая фигура при симметрии переходит в равную ей фигуру. Значит, и угол переходит в равный угол. Обозначим рассматриваемые прямые через a и b. Рассмотрим любой из углов, образованных при их пересечении. Сторонами этого угла являются лучи прямых а1 и b1. Этот угол по условию равен 90°.
В результате симметрии относительно a этот угол перейдет в равный ему угол. Но при этом сторона, лежащая на прямой a (луч a1), останется на месте. Значит, другая сторона (луч b1) перейдет в свое продолжение — другой луч той же прямой b (луч b2).
Кривая, состоящая из конечного числа отрезков прямых линий, называется ломаной.
Концы отрезков — вершины ломаной.
Отрезки — звенья, или стороны, ломаной. Соседние стороны не должны лежать на одной прямой.
Любая замкнутая кривая, не пересекающаяся сама с собой, ограничивает плоскую фигуру и делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к этой фигуре.
При этом, если точка А принадлежит внутренней области, а точка В — внешней, то, двигаясь из А в В по любой кривой, мы пересечем данную замкнутую кривую нечетное число раз.
Это понятно, ведь при каждом пересечении мы переходим из внутренней области во внешнюю или обратно, и сами эти переходы чередуются. При одном пересечении мы перешли из внутренней во внешнюю область, после двух — вернулись обратно, после трех — вновь попадаем во внешнюю область и т.д.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
По определению окружность состоит из всех точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние от ее центра. Проведем через центр окружности точку О — произвольную прямую a.
Пусть А — некоторая точка окружности. Если А лежит на прямой а, то в результате симметрии относительно а точка А останется на месте.
Если же А не принадлежит прямой а, то в результате симметрии она перейдет в некоторую точку А', а отрезок ОА — в отрезок OA'. Согласно свойству симметрии
OA = OA',
а значит, и точка А' принадлежит окружности. Но при этой симметрии точка A', в свою очередь, перейдет в А. Короче говоря, при симметрии относительно прямой a точки А и А', лежащие на окружности, просто поменяются местами. Из этого следует, что вся окружность перейдет сама в себя.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.
Если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним.
Теорема о равнобедренном треугольнике имеет непосредственное отношение к свойствам окружности. Ведь любую хорду окружности можно рассматривать как основание равнобедренного треугольника, противоположная вершина которого расположена в центре окружности. Этот прием часто используется при доказательстве различных свойств окружности и решении задач.
Свойство хорд окружности можно сформулировать так: «Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду этой окружности, делит хорду пополам».
Это же можно выразить несколько иначе: «Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам».
Рассмотрим треугольник OPK, где PK — некоторая хорда окружности, а О — центр.
Этот треугольник равнобедренный: OP = OK. Теперь мы можем воспользоваться свойством равнобедренных треугольников, по которому медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают. Значит, перпендикуляр, опущенный из вершины О на PK, делит PK пополам.
Рассмотрим случай пересекающихся окружности и прямой.
Если прямая проходит через центр окружности, то наше утверждение вполне очевидно. На прямой имеется ровно две точки, удаленные от данной точки этой прямой на определенное расстояние.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть окружность с центром О пересекается с прямой а в точке А. Опустим из О перпендикуляр b на прямую а. Если A1 — еще одна точка пересечения прямой а с окружностью, то треугольник AOA1 является равнобедренным с основанием AA1. По свойству равнобедренных треугольников перпендикуляр b делит отрезок AA1 пополам, или, иначе, A1 симметрична А относительно b. Это означает, что, помимо точки A, прямая а может пересечься с окружностью не более чем еще в одной точке.
Если мы построим окружность радиуса AB с центром в точке А, то эта окружность будет иметь единственную общую точку с прямой L — точку В.
Если прямая имеет единственную общую точку с окружностью, то такая прямая называется касательной к окружности.
О такой прямой говорят также, что она касается окружности.
Общая точка окружности и касательной называется точкой касания.
Для построения перпендикуляра достаточно сначала построить точку А', симметричную А относительно L.
Для этого построим две окружности с центрами на L, проходящие через точку А. Вторая точка пересечения этих окружностей и даст точку А'.
Проведя прямую АА', мы получим искомый перпендикуляр.
